martes, 21 de febrero de 2012

Fracciones egipcias

Bien mis pequeños escribas egipcios...ayer aprendimos a multiplicar y a dividir si el resto es cero, pero...¿qué pasa si no es exacta la división?, cosa que ocurre frecuentemente si dividimos por dos...

Vamos a seguir unas reglas:
"The Rhind Mathematical Papyrus -
An Ancient Egyptian Text "
, Gay Robins and Charles Shute.
British Museum Press, 1987
  1. Por extraño que nos parezca, para calcular un tercio de un número, un escriba calcula primero los dos tercios y después divide por dos. Es más, los 2/3 tienen su propio símbolo jeroglífico o hierático.
  2. Los escribas egipcios no usan fracciones compuestas, todas son fracciones de la unidad ( salvo 2/3), esto os va a gustar... y todas las fracciones se descomponen en una suma de fracciones de la unidad.
  3. Prohibido usar 1/n + 1/n para representar 2/n . En nuestro proceso de multiplicar por dos, o doblar una fracción, no encontraremos problemas cuando nuestro denominador sea par, ni al doblar 1/3 pues resulta 2/3, pero para todas las demás fracciones con denominador impar utilizaremos una tabla de descomposición. La tabla del papiro de Ahmes.






Tabla 2/n

2/51/3+1/152/531/30+1/318+1/795
2/71/4+1/282/551/30+1/330
2/91/6+1/182/571/38+1/114
2/111/6+1/662/591/36+1/236+1/531
2/131/8+1/52+1/1042/611/40+1/244+1/488+1/610
2/151/10+1/302/631/42+1/126
2/171/12+1/51+1/682/651/39+1/195
2/191/12+1/76+1/1142/671/401/335+1/536
2/211/14+1/422/691/46+1/138
2/231/12+1/2762/711/40+1/568+1/710
2/251/15+1/752/731/60+1/219+1/292+1/365
2/271/18+1/542/751/50+1/150
2/291/24+1/58+1/174+1/2322/771/44+1/308
2/311/20+1/124+1/1552/791/60+1/237+1/316+1/790
2/331/22+1/662/811/54+1/162
2/351/30+1/422/831/60+1/332+1/415+1/498
2/371/24+1/111+1/2962/851/51+1/255
2/391/26+1/782/871/58+1/174
2/411/24+1/246+1/3282/891/60+1/356+1/534+1/890
2/431/42+1/86+1/129+1/3012/911/70+1/130
2/451/30+1/902/931/62+1/186
2/471/30+1/141+1/4702/951/60+1/380+1/570
2/491/28+1/1962/971/56+1/679+1/776
2/511/34+1/1022/991/66+1/198
2/1011/101+1/202+1/303+1/606

Es curioso que entre las aproximadamente 28000 combinaciones diferentes de sumas de la fracción de la unidad que se pueden generar para 2/n, con n=5,7,...,101. Los escribas egipcios eligieran estas 49 y no otras. Puede ser que siguieran estos criterios:
  • Preferentes los denominadores pequeños, y ninguno mayor de 900.
  • No más de cuatro sumas.
  • Preferencia por los denominadores pares, especialmente en el primer sumando, aún cuando fueran más grandes, o pudieran aumentar el número de sumandos.
Por ejemplo, la fracción 2/17 puede descomponerse en 1/9 + 1/153 sin embargo los escribas utilizan la descomposición 1/12+1/51+1/68...Cuando practiquemos las divisiones nos daremos cuenta de las ventajas de esta elección.

Vamos con un ejemplo, problema número 25 del papiro de Ahmes. Dividir 16 por 3:



Llegamos a la línea azul y  paramos de doblar, porque nos pasamos de 16. Sumamos 12 + 3 = 15 y como buenos escribas, calculamos primero los 2/3 y después dividimos por dos, para conseguir el 1 que necesitamos para llegar a 16. Ahora ya podemos sumar 16 y el resultado de nuestra división es por tanto 1 + 4 + 1/3 = 5 + 1/3.






¿Entendido, pequeños aprendices de escribas?...

Pues vamos con una multiplicación con fracciones:
Multiplicar 1 + 8/15 por 30 + 1/3

...

-¿Qué pasa?
-Profe, que has incumplido la segunda regla!!
-Bien, pequeñuelos... veamos 1 + 8/15 = 1 + 1/3 + 1/5, arreglado!



Perfecto, el producto utilizando la multiplicación moderna sería 46 + 23/45, que es exactamente el resultado egipcio dado en la última fila.





Aunque algo engorroso de realizar, tener en cuenta que únicamente "sabemos" duplicar, dividir por la mitad y utilizar la tabla.

Vamos ahora con una división con fracciones, para ello tomemos como ejemplo el problema número 33 del papiro de Ahmes, que puede ser reformulado de la siguiente manera:
La suma de una cierta cantidad y sus dos tercios, su mitad y su séptima parte es 37 ¿Cuál es esa cantidad?

En términos de aprendices de escriba: Dividir 37 por 1 + 2/3 + 1/2 + 1/7.





Para los que no tenéis claro como pasar de la línea azul:
36 + 2/3 + 1/4 + 1/28 está próximo a 37...¿Qué hay que sumarle para llegar a 1?...Pues 1/21, y la cuestión es ¿por qué número multiplico el divisor, en este caso 1 + 2/3 + 1/2 + 1/7, para obtener 1/21...pues si, en efecto, ese número es 2/97, pero mirar en la tabla su descomposición en sumas de fracciones de la unidad.



La solución es por tanto:



Para los pequeños aprendices de escribas que han llegado hasta aquí sin desfallecer, les reto a resolver el problema número 6 del papiro, que trata del reparto de nueve panes entre diez hombres. ¿Cuál sería tu reparto, como buen escriba?

Si tenéis ganas de más problemas de Ahmes, este es un buen sitio para visitar.

Con esta segunda entrada participo en la edición 3.1 del Carnaval de Matemáticas que  tiene por anfitrión a Scientia potentia est

2 comentarios:

  1. Definitivamente, hemos pensado casi igual para este Carnaval :P

    En mi post hablo más bien del origen de los números y los sistemas de numeración, pero cuando llego a Egipto también menciono lo de las fracciones, pero no con tanta profundidad como tú, sino de pasada.

    Saludos carnavaleros ;)

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  2. Hola Rafa, he leído tu entrada Cuéntame un cuento(I)
    Verdaderamente estamos conectados este mes...perfecto para complementarnos...un beso carnavalero!!

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